Mathematik & SI-Störungen

2013-03-12 08.43.16Seit knapp einem Jahr unterrichte ich zwei Kinder mit der Glasknochenkrankheit und mit Erlaubnis der Eltern darf ich immer wieder darüber berichten.
An diese Aufgabe bin ich – ebenso wie die meisten Kollegen – recht blauäugig herangegangen, mit wenig mehr als einer gesunden Portion Menschenverstand, vermischt mit naivem Optimismus. Ich möchte heute auch weniger über die Herausforderungen des schulischen Alltags für Kinder mit Glasknochen beschreiben – das habe ich an anderer Stelle mehrfach getan – sondern einen (von einem Laien verfassten) Überblick über die mathematische Fähigkeit bestimmter Kinder in Kombination mit körperlicher Beeinträchtigung ermöglichen.

Warum?
Weil durch die zunehmende Inklusion an Schulen in den kommenden Jahren immer mehr Kinder mit einer SI-Störung im Mathematikunterricht sitzen werden.

Und?
Weil es im Internet (soweit das Google reicht) nur wenig Informationen darüber gibt und nicht jeder Kollege Zeit und Lust hat, Fachliteratur zu wälzen oder sich einzuarbeiten.

Und dich qualifiziert…?!
Gar nichts. Aber für eine Einführung sollte es reichen. Und alles, was im Internet steht, ist wahr – das hat schon Abraham Lincoln gesagt.

Nudeln und Eisläufer

“Nils? Auf der Packung steht ich soll die Nudeln in Kochendes Wasser werfen. Ich glaube es kocht. Wie viele Nudeln willst du?”

“Du glaubst das es kocht? Laut Definition muss das Wasser bis zum Übergang in die Gasphase erhitzt werden. Hast du die Druckabhängigkeit und die Erhöhung des Siedepunkts durch gelöste Salze bedacht? Du hast das Wasser doch gesalzen oder nicht? Du weißt doch noch wo das Thermometer liegt, oder nicht?”

“Ja, ja…. Hab ich alles… Blöder Nerd!”

“Was?”

“Nix!”

Viele Mythen der ordinären normalen Menschen ranken sich um das Thema “kochendes Wasser”. Schon die Oma wusste, das sich der Siedepunkt des Wassers durch die Zugabe von Haushaltssalz ändert. Und einige wenige Bergsteiger wagten den Versuch ihr Essen auf 4000 m Höhe zu garen und scheiterten kläglich. Dabei lernt man doch schon in der Schule, dass Wasser bei 100 °C siedet und bei 0 °C gefriert. Doch stimmt das wirklich? Natürlich nicht. (Natürlich stimmt es – aber wir wollen es ja ganz genau wissen!) Spricht man heute im Allgemeinen vom Siedepunkt oder Kochpunkt, so meint man den Punkt an dem eine Flüssigkeit genügend erhitzt wurde um als Dampf mein verwendetes Gefäß zu verlassen. Da dieser Punkt aber keinesfalls nur von der Temperatur abhängig ist, sondern auch vom momentanen Systemdruck ist dieser Punkt nicht fix. Um den Zusammenhang von Druck, Temperatur und Siedepunkt besser abbilden zu können gibt es sogenannte Phasendiagramme.

Phasendiagramm WasserEin Phasendiagramm zeigt die Aggregatzustände einer Substanz und deren Auftreten bei gegebenem Druck und Temperatur, spezielle Punkte (Trippelpunkt, Kritischer Punkt), und die Phasengrenzlinien. Im gezeigten Diagramm erkennt man die drei Phasen des Wassers: Eis, Wasser und Wasserdampf. Entlang der Phasengrenzlinien findet der Übergang einer Phase in eine andere statt. Unter normalen Bedingungen ( 1 bar Druck) sollte Wasser, wie gezeigt bei 100 °C sieden und somit zu Wasserdampf werden. Sinkt der Druck, sinkt die benötigte Siedetemperatur ebenfalls. Infolge dessen kocht Wasser auf dem Mount Everest schon bei ca. 70 °C. Erniedrigt man den Druck noch mehr, kann Wasser sogar bei Raumtemperatur sieden. Diesen Effekt kann man beobachten, wenn man große Apotheken-Spritzen mit etwas Wasser füllt, oben zuhält und dann aufzieht: Das Wasser fängt an zu “blubbern”.
Und was ist mit dem Schmelzen? Na klar. Schaut man sich das Diagramm an erkennt man, das Eis bei erhöhtem Druck schneller schmilzt. Dieser Effekt ermöglicht der Menschheit alle Wintersportarten, die auf Kufen stattfinden. Betritt eine Eisläuferin das Eis schmilzt es aufgrund des Drucks, den die Läuferin durch ihr Körpergewicht auf die Eisfläche ausübt. Sie läuft nicht auf dem Eis, sondern sie gleitet über eine Wasserschicht, die sie unter ihren Kufen selbst erzeugt. Des weiteren gibt es eine Abhängigkeit der Siedetemperatur von den im Wassers gelösten Salzen (Erzähl ich euch ein anderes Mal).

Wasser kocht also nicht immer bei 100 °C, Eisläufer sind in Wirklichkeit Wasserläufer und die Nudeln waren super.

Besinnungsaufsatz vs. Strafarbeit²

Wie reagiert ihr, wenn der Nachbarsjunge bei euch Klingelmäuschen spielt und ihr ihn auf frischer Tat ertappt?

Diese – für uns Lehrer beinahe alltägliche – Situation diskutierten wir neulich während unserer großzügigen Kaffeepause spärlichen Wechselpause. Immer wieder klopfen vorwitzige Schüler an die Tür und rennen dann weg. Wie geht man damit um, wenn man sie erwischt?

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Newtons Kaffee

“Das Gold der Dichter und Denker”, sagte Goethe schon über den Kaffee, doch Generationen von Kaffeetrinkern haben sich schon die Köpfe eingeschlagen, wenn es um die Frage ging wann die Milch in den Kaffee kommt um den Kaffee möglichst lange heiß zu halten. Direkt nachdem man den Kaffee in die Tasse gegeben oder nachdem man ihn ein wenig abkühlen gelassen hat. Fragt man die uninteressierten netten, freundlichen Studenten in der Uni-Cafeteria, wissen die meisten die Antwort auf anhieb, können aber kaum erklären warum. Andererseits gab es Studenten die fest davon überzeugt waren, dass ihrer falschen Meinung absolut richtig sei, da sie es selbst getestet hätten. Da ich es anscheinend immer wieder nötig habe meine studentischen Artgenossen mit Fragen des Alltags zu penetrieren, bin ich ihnen nun eine anständige Antwort schuldig.

Isaac Newton untersuchte das Abkühlungsverhalten verschiedener Flüssigkeiten und Feststoffen und konnte nach einigen erfolgreichen Experimenten und Messungen eine Formel für die Abkühlung verfassen. Nach einigem Umstellen und Integrieren kann man sein Abkühlungsgesetz in eine Form bringen, die uns eine Lösung für unser Problem liefert

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Diese Formel beschreibt die Abkühlung unseres Kaffees sehr genau. Dabei ist a die Temperatur des Raums, indem sich unser Kaffee befindet und T0 die Temperatur des Kaffees zum Zeitpunkt des Eingießens. t ist die Zeit und k ist der sogenannte Abkühlungskoeffizient, der die stärke der Abkühlung flüssigkeitsspezifisch beschreibt. Man erkennt, dass der Kaffee nie kälter wird als Raumtemperatur a.

Fall 1: Wir geben die Milch direkt zum Kaffee. Der Kaffee Kühlt am Anfang ein wenig ab. Seine Temperatur sinkt jedoch gleichmäßig und nähert sich langsam der Raumtemperatur an.

Fall 2: Wir lassen den Kaffee erst einmal 5 Minuten abkühlen und geben anschließend die selbe Menge Milch, mit der selben Temperatur in den Kaffee. Der Kaffee hat sich schon 5 Minuten lang abgekühlt und bei der Zugabe der Milch sinkt die Temperatur stärker als bei Fall 1.image

Tragen wir die Temperatur gegen die Zeit auf erhalten wir ein Diagramm, dass diesen Vorgang beschreibt. Erkennbar wird, dass der Kaffee aus Fall 1 länger warm bleibt. Der Kaffee aus Fall 2 ist nur solange wärmer, bis die Milch hinzugegeben wird. Anschließend verläuft die Kurve unterhalb der des ersten Falls.

Zusammenfassend können wir feststellen, dass es besser ist die Milch direkt in den Kaffee zu geben und nicht erst nach einigen Minuten Wartezeit.

Für alle die an der ausführlichen Berechnung interessiert sind bin ich gerne jederzeit per eMail erreichbar.

Das Kohlensäure-Problem

Vor einigen Tagen stellte Jan folgendes Problem vor: Verringert die aufsteigende Kohlensäure in einem Glas Sprudel das Volumen?

Kohlensäure, wie der Laie sagt, liegt in Wasser immer als gelöstes Teilchen (Ion) vor. In dem
Mineralwasser wird während der Herstellung gasförmiges CO2 zugeführt, welches mit dem Wasser
sofort zu gelöstem CO2 (Hydrogencarbonat-Ion) reagiert

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Unter hohem Druck und in einem geschlossenen System ist das Hydrogencarbonat-Ion nicht in der
Lage wieder aus der Lösung zu entweichen. Durch das öffnen der Flasche kommt es zu einer
schlagartigen Druckänderung und das Hydrogencarbonat fängt an zu „Sprudeln“. Dabei reagiert das
Hydrogencarbonat wie in Gleichung (1) gezeigt mit einem positiv geladenen Wasserstoff-Ion unter
Bildung von CO2 und Wasser. Da sich außerhalb der Flasche weniger CO2 als in der Flasche befindet
(Konzentrationsgradient) blubbert das CO2 so lange aus der Flasche, bis ein
Konzentrationsgleichgewicht mit der Umgebungsluft entstanden ist. Da die Menge an CO2 in einer
Wasserflasche nicht ausreicht um die Umgebungsluft zu sättigen blubbert fast das gesamte CO2 aus
der Flasche.

Nun zur Berechnung:

In einem durchschnittlichen Mineralwasser sind ca. 1000 mg/l CO2 gelöst. Theoretisch würde das
Wasserglas also um 1g leichter werden, wenn das gesamte CO2 aus der Lösung entweicht ist. Wie zu
erwarten war ist es in der Realität ein wenig komplizierter. Auch bei der Zugabe von 1g Haushaltssalz
zu einem Glas Wasser wir das Wasserglas nach dem Lösungsvorgang keinesfalls um 1g schwerer das selbe Volumen größer.
Da sich die Wassermoleküle beim Lösungsvorgang um die neu gebildeten Ionen anordnen kommt es
zu einer Änderung der Dichte der Flüssigkeit.
Die Dichte einer Flüssigkeit (p) ist definiert als der Quotient der Masse der Flüssigkeit (m) in kg und
dem Volumen (V) in m³.

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Da die Dichte einer Flüssigkeit Temperaturabhängig ist gehen wir einfach davon aus, dass unser
Wasser eine absolute Temperatur von 21 °C hat diese Temperatur während der Rechnung konstant
bleibt, woraus sich eine Dichte von 998 kg/m³ ergibt. Außerdem muss davon ausgegangen werden,
dass das Wasser während dem Versuch nicht in die Gasphase übergeht (verdampft). Um ein
aussagekräftiges Ergebnis zu erhalten, werde ich berechnen wie sich die Massen von 1000g Wasser
bei der Zugabe von 1g CO2 ändert, woraus der umgekehrte Fall ebenfalls erklärbar wird.
Nach den Gesetzen von François Marie Raoult lässt sich die Änderung der Dichte des Wassers bei der
Zugabe von 1g CO2 wie folgt berechnen:

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[Wer Interesse am vollständigen Rechenweg hat kann mich gerne kontaktieren☺]
Nach dem Lösen des CO2 im Wasser besitzt die Flüssigkeit eine Dichte von 998,543969 kg/m³. Das
entspricht einer Dichte von 0,99854397 g/ml.

Aus der Formel für die Dichte (2) lässt sich nun eine Formel für das neue Volumen des Wassers
formen und mit dem Alten Volumen Vergleichen:

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Daraus folgt:

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Somit ändert sich das Volumen von 1l Wassers bei der Zugabe von 1g CO2 um 0,4556 ml oder anders
ausgedrückt:

Wenn man eine 1l Wasserflasche offen stehen lässt verliert das Wasser mit dem Verlust der
Kohlensäure 455,6 μl an Volumen.